アナログ回路屋 http://www.analib.com/blog/ アナログについて少々... ja Copyright 2010 Sun, 24 Jan 2010 14:28:22 +0900 http://www.sixapart.com/movabletype/ http://www.rssboard.org/rss-specification mimetexを使ってブログやWebページへ数式を入れる 　拙ブログの中で意外とアクセス数が多いのはMovableTypeで数式を！です。この記事はOSがSolaris10のサーバーでmimetex.cgiを稼働させ、LaTeXライクな入力で数式をgifイメージに変換し埋め込む方法を書いたものです。検索キーワード等より推測すると、アクセス数が多い理由はmimetexの情報が意外と少ないからではないでしょうか。
　毎回の記事が数式を使うようであれば契約されているサーバーでmimetex.cgiを稼働させた方がベターだと思いますが、今だけ使いたいという方もいらっしゃると思います。
　本エントリーは私どものサーバーで動いてるmimetex.cgiを使っていただき、簡単に見栄えのよい数式を生成してWebページやブログへ入れ込む手助けを目的とします。

　使い方は簡単でイメージタグを用い下記を埋め込むだけです。
　<img src="http://www.analib.com/cgi-bin/mimetex.cgi?数式">
私どものサーバーが不運にも未稼働であることも考えられますので、
　http://www.analib.com/cgi-bin/mimetex.cgi?数式 で得られたgifイメージを保存してアップロードという使い方もできます。
　http://www.analib.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large f(x)=\int_{-\infty}^x e^{-t^2}dt　
という記述をすれば、

　\Large f(x)=\int_{-\infty}^x e^{-t^2}dt

が得られます。

　mimetexの数式例はこのページにあります。数式をクリックすればどのような記述になっているか分かります。

　面白い使い方としてカレンダー表記もできます。
　http://www.analib.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\normalsize\calendar
とすると下記が得られます。
\normalsize\calendar

　LaTeXライクの記述法は作者であるJohn氏のWebサイトでLaTeX Tutorialが参考になるでしょう。ここにもフォームが用意されていて記述した数式を確認できます。

　不運にも私どものサーバーが稼働していないときはgifイメージが得られません。この場合はどうぞご容赦ください。
]]> http://www.analib.com/blog/2010/01/mimetexweb.html http://www.analib.com/blog/2010/01/mimetexweb.html mimeTeX mimetex Sun, 24 Jan 2010 14:28:22 +0900 <![CDATA[NF<3dBの効果について]]> 以前のエントリーで雑音指数と等価入力雑音、信号源抵抗の関係について書きました。本エントリーでは雑音指数 NF=3dB を掘り下げようと思います。

図１の回路を用い、雑音指数と等価入力雑音、信号源抵抗の関係は前エントリーで説明しました。すなわち、

Noiseless-amplifier.png


図１
\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; NF&amp;=&amp;10log_{10}F\\ &amp;=&amp;10log_{10}\frac{Es^2+En^2+In^2Rs^2}{Es^2}\end{eqnarray}...（式１）

式１で増幅器の雑音に関係する項をEn_{{\tiny AMP}とすれば、

{En_{{\tiny AMP}}}^2=En^2+In^2Rs^2

ここでNF=3dBとします。すなわち、

3dB=10log_{10}\frac{Es^2+Eni^2}{Es^2}...（式２）

式２が成り立つには信号源抵抗熱雑音と増幅器の雑音は等しい関係にあります。
全体の雑音電圧をEnoとすると、

\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; Eno^2&amp;=&amp;2Es^2\\Eno&amp;=&amp;\sqrt{2}Es(=\sqrt{2}{En_{{\tiny AMP}})\end{eqnarray}...(式３)

以上より、雑音指数が3dBは信号源と増幅器が同じ雑音を出し、全体の雑音はそれぞれの雑音のsqrt{2}倍であることが分かります。

実際の回路設計のことを考えてみましょう。
増幅器の回路設計に苦心し、仮に増幅器の雑音がNF=3dB時より1/10まで下がったとします。

Eno^2=\frac{Es^2+0.1Eni^2}{Es^2}
\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; Eno^2&amp;=&amp;1.1Es^2\\Eno&amp;=&amp;\sqrt{1.1}Es(=\sqrt{1.1}{En_{{\tiny AMP}})\end{eqnarray}...（式４）

式３と式４を比較すると、雑音電圧はNF=3dBのときから約{\frac{1} {sqrt{2}}}(=0.707)倍しか改善されません。苦心して信号源の雑音より増幅器の雑音を下げNFを3dB以下にしても信号対雑音比で考えれば得るものは少ないというのが分かると思います。

参考文献
低雑音電子回路の設計 Motchenbacher/Fitchen著　斉藤正男監訳

]]> http://www.analib.com/blog/2009/10/nf3db.html http://www.analib.com/blog/2009/10/nf3db.html Noise figure NF Noise Figure Wed, 28 Oct 2009 09:49:55 +0900 トランジスタ技術への記事 CQ出版社 トランジスタ技術の2009年8月号に掲載されました。
記事は「高精度OPアンプ 設計の手順と考え方」です

toragi200908.jpg

内容は
バイポーラとCMOSからプロセスを選ぶ
  • 決め手は素子の耐圧
  • 素子の特性のマッチングはプロセスで決まる
  • エミッタ形状によるオフセット電圧の違い
  • 入力オフセット電圧はMOSよりもバイポーラの方が小さい
  • オフセット電流は入力電流がほとんど無いMOSがバイポーラよりも小さい
  • 初段増幅器の利得はバイポーラの方が大きくしやすい
  • バイポーラとMOSの比較のまとめと動向
回路ブロックごとの設計
  • まずは回路全体のイメージをつかむ
  • 初段増幅回路
  • オフセット電圧の検証
  • オフセット電流の検証
  • 初段利得
  • ２段目増幅回路
  • 出力回路
高精度オペアンプといえば優れた直流特性が挙げられますので、特にオフセット電圧/電流について式を交えながら詳しく書きました。

アナログICが身近に感じていただければとても嬉しいです。

]]> http://www.analib.com/blog/2009/07/toragi1.html http://www.analib.com/blog/2009/07/toragi1.html トランジスタ技術 トランジスタ技術 高精度 高精度オペアンプ Fri, 10 Jul 2009 09:54:57 +0900 Analog EN （技術者ネットワーク） その名もAnalog EN（アナログ エン）
ホームページの言葉を引用すると、
「Analog ENはアナログにエン【縁】のある技術者のネットワークです」

群馬県/群馬大の「ぐんまアナログ技術立県事業/群馬アナログカレッジ」の有志から始まったとお聞きしました。
アナログ技術に関する話題で大いに盛り上がり、とても有意義な時間を過ごさせていただきました。
カメラを持っていったのですが話しに夢中になり１枚も写せなかったのが残念です。

参加された皆様、ご苦労様でした。
またお会いできることを楽しみにしております。

]]> http://www.analib.com/blog/2009/06/analog-en.html http://www.analib.com/blog/2009/06/analog-en.html Analog EN Analog EN 群馬アナログカレッジ Mon, 22 Jun 2009 01:27:52 +0900 ジャイレータについて 　IC内へフィルタ回路を設計する際にコイルがあったらどんなに便利でしょう。高周波回路ではアルミ配線を渦状に巻いたスパイラル・インダクタがありますがインダクタンスは小さく使える周波数帯が限られます。
　アクティブフィルタを構成するにあたり、インダクタンスを模擬する回路技術としてジャイレータ（Gyrator）があります。ジャイレータは1948年、フィリップス社のB.D.H.Tellgenが「The Gyrator,A New Electric Network Element」で発表しました。ジャイレータの目的はキャパシタンスでインダクタンスを得る事です。近年では第二世代カレントコンベア（CCⅡ）を用いた回路技術もありますが、古き技術であるジャイレータもまだまだ現役だと思います。私も数十kHzの２次バンドパスフィルタをジャイレータを応用して回路設計した経験が数度あります。
本エントリーではジャイレータの概要について述べたいと思います。

　ジャイレータは電圧を電流へ、電流を電圧へ変換する作用を有するものです。（図１へ概念図を示します）

Gyrator_F.jpg


図１


図１より、

\Large\left\{\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; V_1&amp;=&amp; 0V_2 + kI_2&nbsp;&nbsp; \\ I_1&amp;=&amp; \frac{1}{k} V_2 + 0I_2 \end{eqnarray}...(1)式


\left(\large\begin{array}{GC+23}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; V_1 \\I_1\end{array}\right) = \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;k \\{1}/{k} &amp;0 \end{array}\right) \left(\large\begin{array}{GC+23} V_2 \\ \pm I_2 \end{array}\right)...(2)式


ここでkはジャイレーション抵抗、電流の向きはブラックボックスから見て"+"が流出方向、"-"が流入方向です。

(1)式の基本行列：Fは、

F = \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;k \\{1}/{k} &amp;0 \end{array}\right) = \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;k \\G &amp;0 \end{array}\right)

ここで"G"はジャイレーション抵抗"k"の逆数でジャイレーションコンダクタンスと呼ばれます。

２次側の電流の向きをブラックボックスへ流入する方向とし、(1)式を電流"I"で整理すると下記になります。

\Large\left\{\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; I_2&amp;=&amp; - \frac{1}{k} V_1&nbsp;&nbsp; \\ I_1&amp;=&amp;&nbsp; \frac{1}{k} V_2&nbsp;&nbsp; \end{eqnarray}


\left(\large\begin{array}{GC+23}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; I_1 \\I_2\end{array}\right) = \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;{1}/{k} \\-{1}/{k} &amp;0 \end{array}\right) \left(\large\begin{array}{GC+23} V_1 \\ V_2 \end{array}\right)...(3)式


(3)式のアドミッタンス行列：Yは

Y = \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;G \\-G &amp;0 \end{array}\right) =&nbsp; \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;G \\0 &amp;0 \end{array}\right) + \left(\large\begin{array}{GC+23} 0 &amp;0 \\-G &amp;0 \end{array}\right)...(4)式


(4)式より、ジャイレータを構成するには「正相と逆相のコンダクタンスを有する２つの回路を並列接続すればよい」ことが導き出されました。

導きやすさからYパラメータで考えます。

Gyrator_y.jpg


図２


図２は４端子回路をYパラメータで表現しました。この場合の電圧/電流は、

\Large\left\{\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; i_1&amp;=&amp; y_{11} v_1 + y_{12} v_2&nbsp;&nbsp; \\ i_2&amp;=&amp; y_{21} v_1 + y_{22} v_2 \end{eqnarray}...(5)式


(5)式へ(4)式の下記の条件を代入します。

\large\begin{array}{GC+23} y_{11}=0 &amp; ,y_{12}=y_{12} \\y_{21}=-y{21} &amp; ,y_{22}=0 \end{array}


\Large\left\{\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; i_1&amp;=&amp; y_{12} v_2&nbsp;&nbsp; \\&nbsp; i_2&amp;=&amp; -y_{21} v_1&nbsp; \end{eqnarray}


負荷条件：i_2 = -v_2 y_Lを用いて式を整理し入力インピーダンスを求めると、

Z_i = \frac {v_1}{i_1} = \frac {1}{y_{12} y_{21}} y_L...(6)式
Gyrator_ideal.jpg


図３


(6)式より、負荷へキャパシタンス：y_L = j\omega Cを接続すると、入力インピーダンスはインダクタンスに見えることが分かります。この方法により一端が接地されたインダクタンスを得ることができます。またy_{11} = 0、y_{22} = 0は入出力インピーダンスを高くすることにより理想ジャイレータの姿に近づきます。入出力インピーダンスが高いコンダクタンスを持った増幅器などは、お馴染みのOTAなどが挙げられます。
回路技術者の腕の見せ所は、理想ジャイレータのアドミッタンス行列にOTAの特性を如何に近づけるかでしょう。
ご参考になれば幸いです。


参考文献：
電子展望　Gyrator


]]> http://www.analib.com/blog/2009/06/gyrator.html http://www.analib.com/blog/2009/06/gyrator.html Gyrator Gyrator アクティブフィルタ ジャイレータ Fri, 19 Jun 2009 09:30:36 +0900 テキストブラウザ lynx googleさんのガイドラインに書かれていたテキストブラウザのlynxをubuntuへ導入・使用してみました。私はホームページの確認 alt属性やlinkタグの確認などに用いました。Windows環境の方はこちらのサイト様：lynxでアクセシビリティチェックに詳しく書かれています。
　lynxはブラウザの他にファイル管理などにも使われるようで、まるでDOS時代のFDのような感じで使えることにビックリしました。操作も簡単なのでとても使い易いです。

ubuntuへlynxのインストールです。端末にて、
sudo apt-get install lynx-cur
その後 /etc/lynx-cur/lynx.cfg を日本語が表示できるように編集します。以下の３行を検索して修正します。
#CHARACTER_SET:iso-8859-1
#ASSUME_LOCAL_CHARSET:iso-8859-1
#PREFERRED_LANGUAGE:en
コメントを外し（＃をとる）、下記のようにします。
CHARACTER_SET:utf-8
ASSUME_LOCAL_CHARSET:utf-8
PREFERRED_LANGUAGE:ja
　コマンドなどは多くのサイトさんが紹介されていますのでここでは割愛します。例えばwww.example.com　のブラウジングだけなら端末で、
lynx http://www.example.com
　あとは↑↓矢印キーで前のアンカー、次のアンカーです。操作に困ったときは Ctrl+Gで切り抜けます。？を押せばヘルプ画面が出てきます（英語）

ubuntuでの表示例を載せておきます。
lynx.png

]]> http://www.analib.com/blog/2009/04/lynx.html http://www.analib.com/blog/2009/04/lynx.html linux lynx lynx テキストブラウザ Tue, 28 Apr 2009 10:05:22 +0900 analib.comのサイトをリニューアルしました analib.comのサイトを全面リニューアルしました。SEO対策の目的が主ですが、デザインも変えました。
　今回のリニューアルが３回め。analib.comのドメインを取得したのが 2002年9月ですから少しサボり過ぎだと反省してます。これからも少しづつですが更新していこうと思います。

　ブログに書き忘れていましたが、やまなし産業支援機構様の１社１テクノというページがあります。今年の１月末〜２月頃だと思うのですが弊社を紹介していただきました。
やまなし産業支援機構様、ありがとうございました。
]]> http://www.analib.com/blog/2009/04/renewal20090424.html http://www.analib.com/blog/2009/04/renewal20090424.html サイト更新 やまなし産業支援機構 サイト更新 １社１テクノ Fri, 24 Apr 2009 17:12:28 +0900 雑音指数と等価入力雑音、信号源抵抗の関係


　便宜上、本エントリーでは雑音係数を"F" その対数10 log_{10} Fを"NF"とします。雑音係数/雑音指数は、

\left\{ \Large\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; F&amp;=&amp;\frac{Si/So}{So/No}\\NF&amp;=&amp;10log_{10}F\end{eqnarray}...(式１）


雑音指数NFは増幅器を通過した後、信号対雑音比が悪化する程度を示しています。増幅器の雑音がゼロの理想増幅器ならば雑音係数F=1→NF=0dBです。

式１をわかりやすい形に変形します。

F={\frac{No}{Ni}} \cdot {\frac{Si}{So}}...（式２）


\frac{Si}{So}は増幅器の利得分の１ですから、No \cdot \frac{Si}{So}は全等価入力雑音を表しています。

IEEE基準では雑音係数Fは標準温度290[°K]の環境下で増幅システム等の単位帯域幅あたりの雑音電力を入力端子に接続されている信号源抵抗で発生する雑音電力の比であるとしています。これは式２と同意で、
F=[全等価入力雑音電力]÷[信号源抵抗で発生する雑音電力] であることが分かると思います。

Noiseless-amplifier.png
図１


　図１は増幅器で発生する雑音を入力端子に接続されるEn,Inで表し、更にその増幅器の入力端子へ信号源抵抗Rsとその雑音源Esが接続された状態を示しています。これより全等価入力雑音をEniとすると、

Eni^2 = Es^2 + En^2 + In^2 Rs^2

すなわち、

\Large\left.\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; NF&amp;=&amp;10log_{10}F\\ &amp;=&amp;10log_{10}\frac{Es^2+En^2+In^2Rs^2}{Es^2}\end{eqnarray}...（式３）


式３で使い慣れた全等価入力雑音と信号源抵抗の関係が導き出されました。

これをグラフで図示して更に分かりやすくしてみましょう。

Vni_vs_Rs.png


グラフ１


　グラフ１は横軸に信号源抵抗：Rs、縦軸は雑音とし式３の各雑音源をプロットしたものです。比較しやすいように等価入力雑音：En=10nV/√Hz、In=4pA/√Hzで与え、雑音帯域幅はΔf=1Hzです。等価入力雑音：Enは信号源抵抗に関係ありませんので一定です。等価入力雑音電流は信号源抵抗：Rsで雑音電圧になりInRsは信号源抵抗が大きくなると増加します。全等価入力雑音：EniはEnとInRsの関数です。
　雑音指数は全等価入力雑音と信号源抵抗の熱雑音の比としました。（青線と黒線の比）このグラフより信号源抵抗が小さい場合はこの比が大きくなりNFは悪化します。En=InRsの信号源抵抗でその比は最小になりNFの最小値がここにあります。信号源抵抗を更に大きくするとEniはInRsに沿って大きくなりますので再びNFは悪化します。これらの関係が直感的に分かるとNF=**dBの増幅器回路設計が身近になると思います。

　NFが最小になる信号源抵抗：Roは重要です。この値の時に信号源抵抗の熱雑音に加えられる増幅器の雑音が最小になります。このRoは、

Ro=\frac{En}{In}...（式４）

グラフ１の場合は10nV/4pA=2.5kΩが求まります。
このときの雑音係数をFoptとし、式３を更に整理すると、

F_{opt}=1+\frac{EnIn}{2kT \Delta f}...(式５)


雑音指数の変化をグラフ２へ示します。式５の雑音指数はグラフの最下部（Rs/Ro=1）の値です。

NF_vs_Rs.png


グラフ２


　以下は等価入力雑音電圧、等価入力雑音電流から最適信号源抵抗、雑音指数をもとめるスクリプトです。お役にたてたら幸いです。

Web Calculator

JavaScript対応ブラウザで表示してください

等価入力雑音電圧[V]：
等価入力雑音電流[A]：

最適信号源抵抗[Ω]：
雑音指数[dB]：




参考文献
低雑音電子回路の設計 Motchenbacher/Fitchen著　斉藤正男監訳
]]> http://www.analib.com/blog/2009/04/noisefigure.html http://www.analib.com/blog/2009/04/noisefigure.html Calculator Noise figure NF Noise Figure calculator 信号源抵抗 等価入力雑音 雑音係数 雑音指数 Sat, 11 Apr 2009 19:28:54 +0900 バイカッドフィルタの仕組みについて 　バイカッドフィルタは多目的フィルタとして使用されています。回路の原型は図５（本エントリー下部）のもので教科書などに出ていますから一度は目にした方も多いのと思います。教科書に出ている回路でも「どうやってこの回路を作ったんだろう...？」と疑問に思ったことはありませんか。本ブログではこの原理をアナログコンピュータの知識を用いながら探っていきたいと思います。

　バイカッドフィルタ（Biquad filter）はBiquadratic function（双二次関数）の全ての形を実現できることからこの名前がついています。双二次関数の一例式を式(1)に示します。

\frac {v_o}{v_i} = \frac {ms^2+cs+d}{s^2+as+b} ...(1)


　フィルタを設計したことがある方なら、式中の"s"はラプラス演算子であることが直ぐ分かると思います。この式で分子の定数を下記のように与え、a=\frac {\omega_o}{Q}、b=\omega_o^2とすると見慣れたフィルタの式が出てきました。

a) m=c=0 の場合

\frac {v_o}{v_i} = \frac {d}{s^2+as+b}

この式は低域通過関数です

b) m=d=0 の場合

\frac {v_o}{v_i} = \frac {cs}{s^2+as+b}

この式は帯域通過関数です

c) c=d=0 の場合

\frac {v_o}{v_i} = \frac {ms^2}{s^2+as+b}

この式は高域通過関数です

　その他のフィルタ関数はここでは割愛しますが、式(1)の双二次関数を回路で構成できればいろんなフィルタが実現できそうです。
具体的にはこの双二次関数をアナログコンピュータを用いて解を導き出すようにプログラミング（回路を作る）することになります。

　アナログコンピュータというのは現在使われているデジタルコンピュータの前に考案されました。コンピュータといっても画面がカラフルなわけではありません。主に数式の解を求めるための計算機です。数字を物理量で与えて計算させるもので、例えば"1"という数字を"1V"とかにします。（これはあくまでも例です）私は学生実験のときにアナログコンピュータを触りました。大きな版の裏側には積分器回路があり、両端がバナナジャックの配線で回路を作っていきます。抵抗はポテンショメータで演算結果は電圧として観測するものでした。蛇足ですが、あの頃は「こんなもの...」と思っていました。いまになって思えば良い経験をしたと感じています。アナログIC電子回路設計をするとフィルタの設計はついて回りますので。

　本題に戻ります。
　双二次関数にアナログコンピュータで使用する新しい変数"x"を導入して式(1)を変形します。

\frac {v_o}{v_i} = \frac {mx+\frac {cx}{s} + \frac{dx}{s^2}}{x+ \frac{ax}{s} +\frac{bx}{s^2}} ...(2)

ここでは式(1)を\frac {x}{s^2}で除算しました。
　分母のv_i = x+ \frac{ax}{s} +\frac{bx}{s^2}...(3) で\frac{x}{s}と\frac{x}{s^2}が求まれば、それらを分子のmx+\frac {cx}{s} + \frac{dx}{s^2}...(4) の該当箇所へ回路中で印加し、定数は別個に与えることでv_oが求まります。

　まず式(3)を積分回路と加減算回路を用いてブロック線図で表します。

biquad1.png


図１


図１に式(4)を加えると、

biquad2.png


図２


図２のブロック線図を実際の積分回路、加減算回路で置き換えるとフィルタになります。しかし一般的に加算回路は非反転増幅器と同じく同相入力時のエラー（CMRRが帰還率の影響を受ける）がありますから精度が良くありません。

　ここでもう一工夫します。非反転回路を使いたくないので式(3)を図３のように改良します。

biquad3.png


図３


このブロック線図へ式(4)を加えたいのですが、図２であった変数"x"が消えています。そこで式(4)を変形します。
式(3)を式(4)へ代入すると、

v_o = mv_i - (ma-c)\frac{x}{s} - (mb-d)\frac{x}{s^2} ...(5)


ここでma-c \geq 0、mb-d \geq 0とするとブロック線図は図４になります。

biquad4.png


図４


図４の伝達関数は、

\frac {v_o}{v_i} =- \frac {ms^2+cs+d}{s^2+as+b}

となり位相が反転した形となりますがフィルタの動作としては問題になりません。

　図４の積分器、インバータを具体化した回路が図５になります。

biquad5.png

図５

　これでバイカッド回路が導き出されました。このように求めたい伝達関数が既知であればアナログコンピュータの原理を使うと回路で実現できることが分かると思います。バイカッドフィルタの他にも応用がきくのではないでしょうか。


]]> http://www.analib.com/blog/2009/02/post-2.html http://www.analib.com/blog/2009/02/post-2.html バイカッドフィルタ biquad filter アクティブフィルタ バイカッドフィルタ フィルタ Sat, 14 Feb 2009 18:41:10 +0900 ボーデ線図 　負帰還の安定性などを検証する場合ボーデ線図を用います。このエントリーではボーデ線図について計算をしながら概要を示したいと思います。
　伝達関数G(s）が演算子sの関数である場合G(s)の周波数特性を求めるためにs→jωと置換すると交流理論の複素表記になります。
　G(jω)の絶対値と偏角を考えると、

\left\{|G(j\omega)|=\frac{|V_o|}{|V_i|}\\ \varphi=argG(j\omega)=argV_o -argV_i}\right.


　|G|は入力電圧と出力電圧の大きさの比を表し、ψは入力電圧に対する出力電圧の位相差を表しています。

time domain.png


図１


　|G|とψはいずれも角周波数の関数でありωを0〜∞へ変化させたとき|G|、ψがどのように変化するかを知ることが回路の特性を理解するのに重要です。角周波数ωが広い範囲にわたって変化したときG(jω)がどのように変化するか図式で表現するひとつの方法にボーデ線図があります。

　ボーデ線図による方法ではG(jω)は２本の曲線で表します。横軸には対数目盛でω（実際は周波数f）をとり、縦軸には利得|G|のデシベル値をとって表した利得曲線と、縦軸には位相ψを度の単位で表した位相曲線の２本です。
例として１次遅れ伝達関数のボーデ線図を図２へ示します。

freq domain.png


図２


一時遅れ関数は、G(s)=\frac {K}{1+s\tau}で表し、s\to j\omegaと置換して

G(j\omega)=\frac {K}{1+j\omega \tau}

絶対値をとると

|G|=\frac {K}{\sqrt{1+\omega^2 \tau^2}}

これより、

|G|\text{[dB]} =20\log_{\tiny {10}} K-10\log_{\tiny {10}} (1+\omega^2 \tau^2) ...(1)

\varphi=-\tan^{\tiny{-1}} \omega \tau　ここで\omega=2\pi f

これが図２の利得曲線と位相曲線です。

(1)式の利得曲線は２本の漸近線で表せます。
f \ll \frac {1}{2\pi \tau}のとき
\tau =\frac {1}{\omega_c}とおいて(1)式を書き直すと

|G|\text{[dB]} =20\log_{\tiny {10}} K-10\log_{\tiny {10}} (1+\frac {\omega^2}{\omega_c^2}) ...(2)

f \ll \frac {1}{2\pi \tau}は\omega \ll \frac {1}{\tau} \to \omega \ll \omega_c

したがって(2)式は、

\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; |G|\text{[dB]} &amp;=&amp;20\log_{\tiny {10}} K-10\log_{\tiny {10}} 1 \hspace{40}&nbsp; (1 \gg \frac {\omega^2}{\omega_c^2})\\ &amp;=&amp;20\log_{\tiny {10}}K&nbsp;&nbsp; \end{eqnarray} ...(3)


f \gg \frac{1}{2\pi\tau}のとき
同様に
\omega \gg \frac {1}{\tau} \to \omega \gg \omega_c
(2)式は

\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; |G|\text{[dB]} &amp;=&amp;20\log_{\tiny {10}} K-10\log_{\tiny {10}} (\frac{\omega}{\omega_c})^2 \hspace{40}&nbsp; (1 \ll \frac {\omega^2}{\omega_c^2})\\ &amp;=&amp;20\log_{\tiny {10}}K - 20\log_{\tiny {10}}\omega \tau&nbsp;&nbsp; \end{eqnarray} ...(4)


この２本の漸近線はf_c = \frac{1}{2\pi \tau}で交わります。
この点における利得と位相は

|G|\text{[dB]} =20\log_{\tiny {10}} K-10\log_{\tiny {10}} (1+\frac {\omega^2}{\omega_c^2})

周波数f_c \hspace{20} (=\omega_c)になった時を考えると

\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; |G|\text{[dB]} &amp;=&amp;20\log_{\tiny {10}} K-10\log_{\tiny {10}} (1+1^{\tiny 2})\\ &amp;=&amp;20\log_{\tiny {10}}K - \text{3.01}&nbsp;&nbsp; \end{eqnarray}


　この点はカットオフ周波数で低周波利得から3.01dB下がった点です。カットオフ周波数が低周波利得より-3dB下がった周波数というのはこの式から理解することができます。
このときの位相は

\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp; \varphi_c &amp;=&amp; -\tan^{\tiny -1} \omega \tau \\ &amp;=&amp; -\tan^{\tiny -1} 1 \hspace{10}=-45&nbsp; \end{eqnarray} ...(5)




　次に(4)式20\log_{\tiny {10}}K - 20\log_{\tiny {10}}\omega \tauの利得が減少する傾きについて考えてみます。
２つの周波数f_1 \hspace{10},\hspace{10} f_2の比を考え、

\frac {f_1}{f_2} = 10 →　f_1、f_2は1dec（デケード）離れている

\frac {f_1}{f_2} = 2 →　f_1、f_2は1oct（オクターブ）離れている

といいます。これは、

\begin{eqnarray}&nbsp;&nbsp;&nbsp; x\text{[dec]} &amp;=&amp;\log_{\tiny {10}} \frac {f_1}{f_2} \hspace{10} \text{dec}\\ y\text{[oct]} &amp;=&amp; \log_{\tiny {2}} \frac{f_1}{f_2}&nbsp; \hspace{10}\text{oct}&nbsp; \end{eqnarray}

(4)式の-20\log_{\tiny {10}} \omega \tauの項は角周波数\omegaの変化に対し-20\text{dB}/\text{dec}（周波数が10倍になると-20dB減る）で減少する傾きであることがわかります。
また\frac {\log_{\tiny {10}} x}{\log_{\tiny {2}} x}= \frac {1}{3.32}より

-20\log_{\tiny {10}}= -6.02\log_{\tiny {2}}

と書き直せるので、-6\text{dB}/\text{oct}（周波数が２倍になると-6dB減る）で減少するとも言います。

(5)式のψは周波数が0 \le \omega \le \inftyとすると-\tan^{\tiny{-1}}より

0 \le \omega \le \tau
↓

0 \le \varphi \le -90

となります。

f_c =\frac {1}{2\pi \tau} \hspace{10} (\omega_c = \frac {1}{\tau})の周波数の\frac {f_c}{10}、10f_cを考えると
\frac {f_c}{10} \hspace{10} (=\frac {\omega_c}{10})の場合

\varphi_1 =-\tan^{\tiny{-1}} \frac {1}{10\tau} \cdot \tau =-5.7

10f_c \hspace{10} (=10\omega_c)の場合

\varphi_1 =-\tan^{\tiny{-1}} \frac {10}{\tau} \cdot \tau =-84.3


以上より簡略化したボーデ線図を図３のように書けます。


bode.png

図３
]]> http://www.analib.com/blog/2009/01/bode-plot.html http://www.analib.com/blog/2009/01/bode-plot.html ボーデ線図 カットオフ周波数 ボーデ線図 Sun, 11 Jan 2009 20:22:15 +0900 Bit Error Ratio 　近年デジタル化が進みデータ伝送の回路設計が増えています。回路の雑音特性からBER（Bit Error Ratio）を計算する技術者の方も多いのではないでしょうか。本エントリーは信号をベースバンドで伝送する場合のBERについて考えていきたいと思います。

　パルスの有無あるいは極性の判定を行う場合、信号振幅と雑音振幅の合計値が設定された判定レベルを超えるか否かで判定します。ここでは、NRZなどの単極パルスについて説明します。

BER.png
 図１

　増幅後のパルス波形は図１のようになります。単極パルスの場合にはパルスの有無を判定するものですから判定レベルは Vp/2となります。
雑音振幅を Vnとするとパルスが無い場合には Vn＞Vp/2のとき判定誤りを生じ、パルスがある場合には Vn＜-Vp/2のときが判定誤りになります。

したがって、符号パルスの発生確率をPとすると、誤りの起こる確率は式１を計算すれば求まります。ただし、Prは確立を示しています。

Pe= P\cdot Pr\left( Vn&lt;-\frac{Vp}{2} \right) + (1-P)\cdot Pr \left( Vn&gt; \frac{Vp}{2} \right) ...式１

　いま雑音が確立密度関数 Pn(V)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}e^{-V^2/2\sigma_n^2} で与えられるガウス雑音であるとすると、（式１）は次のようになります。

Pe=\int_{-\infty}^{-Vp/2} Pn(V)dV + (1-P)\int_{Vp/2}^\infty Pn(V)dV = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\int_{Vp/2}^\infty e^{-V^2 /2\sigma_n^2} ...式２

　ここで、誤差関数 erfc(x)=\frac {2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-x^2} dx を用いると、（式２）は

Pe=\frac {1}{2} \left{ 1-erfc\left( \frac{Vp}{2\sqrt2 \sigma_n}\right) \right}...式３
　信号波高値 Vpと雑音実効値 σnの比は S/Nを表しますから、式３で単極符号の S/N比と誤り率（Bit Error Ratio）が求まったことになります。

　以下は上に記載した方法で S/N比からBERを求めるスクリプトです。お役にたてたら嬉しいです。
誤差関数はヘイスティングスの近似式を用いて計算しています。

Web Calculator

JavaScript対応ブラウザで表示してください

S/N比：

Bit Error Ratio：


]]> http://www.analib.com/blog/2009/01/ber.html http://www.analib.com/blog/2009/01/ber.html Bit Error Ratio Calculator BER Bit Error Ratio Calculator 誤り率 Thu, 08 Jan 2009 12:26:47 +0900 雑音帯域幅 　雑音帯域幅は電力利得を周波数に対して積分し電力利得の最大値で除算したものです。この値を用いて増幅器の帯域幅から出力雑音を計算したり、また雑音測定の際に１次LPFを交流電圧計の前に配置しカットオフ周波数から雑音帯域幅を計算して単位Hzあたりの雑音を得るために使用します。
雑音帯域幅は前置LPF或いは増幅器のカットオフ周波数とは異なるので注意が必要です。


　グラフのイメージで表すと下図になります。

　図１は１次遅れ系の伝達関数をX軸/Y軸ともLinear軸で表しました。
雑音を単位Hzあたりに換算するためにはX軸の雑音帯域幅とY軸の利得の直方体面積を求め全雑音を除算します。
雑音帯域幅はその周波数を境にして右側と左側の面積が等しい位置にあります。

　図２はX軸をlog軸、Y軸をdB換算しました。このように１次遅れ系のカットオフ周波数より雑音帯域幅は上方に位置することが直感的に分かると思います。

Linear AXIS.png
　図１　


log scale.png
　図２　


　ここで雑音帯域幅を計算してみます


　電力利得は下式で与えられます。

\frac {1}{G_O}\int_{\small 0}^\infty G(f)df

　電力利得は電圧利得の２乗に比例するので、
B=\frac {1}{\left|T_O \right|^2}\int_{\small 0}^\infty \left| T(f) \right|^2 df...式１

増幅器の閉ループ、或いは測定時の前置LPF等が式2の１次遅れ系であるとすれば、

T(s)= \frac {T_O}{1+s\tau}...式２

（式２）を（式１）へ代入し、整理すると、

B= \left[ \frac {1}{\sqrt {(2\pi \tau)^2}} \tan^{-1} \sqrt {(2 \pi \tau)^2}f \right]_0 ^\infty =\frac {1}{2 \pi \tau} \cdot \frac {\pi}{2}

　これよりカットオフ周波数（電力半値周波数）の\frac {\pi}{2}上方に雑音帯域幅があることがわかります。

以下は雑音帯域幅 [Hz],またその平方根 [Hz1/2]を計算するスクリプトです。
お役にたてたら嬉しいです。

Web Calculator



JavaScript対応ブラウザで表示してください


カットオフ周波数 fc[Hz]



雑音帯域幅 [Hz]

平方根した雑音帯域幅 Hz1/2



]]> http://www.analib.com/blog/2008/12/noisebandwidth.html http://www.analib.com/blog/2008/12/noisebandwidth.html Calculator Noise Bandwidth Calculator Noise Bandwidth 雑音帯域幅 Wed, 24 Dec 2008 19:48:23 +0900 立ち上がり速度とカットオフ周波数 　前回のエントリーに引き続き、本エントリーではパルス波の立ち上がり・立ち下がり速度とそれを通過させるために必要な増幅器のカットオフ周波数（電力半値周波数）を考えたいと思います。パルス波の立ち上がり・立ち下がり速度は多くの場合　振幅（Y軸）の10％〜90％区間の時間です。

\left\{\left.{0.1\times v(t)=V(1-e^{\frac{-t_1}{CR}})\\0.9\times v(t)=V(1-e^{\frac{-t_2}{CR}})}
v(t)で式を整理すると
V(1-e^{\frac{-t_1}{CR}})=\frac{V(1-e^{\frac{-t_2}{CR}})}{9}

　両辺の\lnをとり、更に式を整理します。
\ln 9=\ln e^{\frac{-t_1}{CR}}-\ln e^{\frac{-t_2}{CR}}
\ln 9=\frac{t_1 -t_2}{CR} \times \ln e

　カットオフ周波数（電力半値周波数）は f_c=\frac{1}{2\pi CR}　、立ち上がり速度は t_r=t_1 -t_2ですので、立ち上がり速度とカットオフ周波数の関係は以下のようになります。
t_r =\frac{\ln9}{2\pi f_c}

　以下は上式の関係を関数電卓を用いずにブログ内で計算するためのスクリプトです。お役にたてれば嬉しいです。

Web Calculator


立ち上がり時間、立ち下がり時間を[s]の単位で入力してください。"1e-6"等の指数表記が使えます。

立ち上がり/立ち下がり時間 [s]：



カットオフ周波数 [MHz]：



]]> http://www.analib.com/blog/2008/12/tr-fc.html http://www.analib.com/blog/2008/12/tr-fc.html Calculator Cut off frequency Rise Time Calculator cut off fall time fc rise time カットオフ周波数 立ち上がり時間 Fri, 12 Dec 2008 14:26:28 +0900 正弦波とSlew Rateの関係 　少しづつブログにも慣れてきました。仕事の合間をみて回路の計算によく出てくるものをまとめていこうと思います。今回のエントリーは増幅器のSlewRate（一般にSRと記します）と正弦波入力信号についてです。

　回路設計する上で小信号振幅における配慮だけでなく大振幅信号についても考えなければならないことは多々あります。大振幅時の信号はSRによって制限を受けるためオペアンプの選定でSRの規格に目がいく設計者も多いのではないでしょうか。以下はとても簡単な計算ですが 案外役に立つことがあるので参考になれば幸いです。

　利得"１"の回路にピーク値：Ep [V]、周波数：f [Hz]の正弦波：e(t)=Ep\cdot\sin(2\pi f)を印加した場合のことを考えます。この正弦波の傾きを調べるために微分すると、

\frac{de(t)}{dt}=2\pi f\cdot Ep\cdot\cos(2\pi ft)

　最大電圧変化率は\cos(2\pi ft)=1の時ですから

\frac{de(t)}{dt}=2\pi f\cdot Ep

　信号周波数をMHzの単位で表すと 2\pi f\cdot Ep は V/\mu sになります。これより回路利得が"1"で信号振幅：Ep、周波数：MHzの信号を歪み無く通過させるには2\pi f\cdot Ep以上のSRが必要になります。

　以下は上記の関係式を電卓をたたかずに このブログで計算するためのスクリプトです。お役にたてれば嬉しいです。


Web Calculator [SR]

入力周波数 [MHz]

入力電圧最大値 [V]



SR [V/μs]



]]> http://www.analib.com/blog/2008/12/slew-rate.html http://www.analib.com/blog/2008/12/slew-rate.html Calculator Slew Rate Calculator SR Slew Rate Thu, 11 Dec 2008 13:08:44 +0900 数式処理システム Maxima 　Maxima（マキシマ）はGNU GPLライセンスの下に配布されているフリーな数式処理システムです。作者さんはマサチューセッツ工科大学のWilliam F.Schelter氏です。プログラミング言語はLispを使い作られました。Schelter氏が他界されてからも後継者の開発者さん達が受け継ぎ、現在も開発が進んでいるシステムです。
　数式処理システムといえば有償のMathematicaが有名ですが、Maximaはそれに劣らないと思います。オープンソースなのでフリーというところが魅力のひとつです。"数式処理システム"という言葉で尻込みをしないでください。Maximaを家庭で使えばお子さんの算数/数学の課題なども簡単に検算できます。お父さんの腕の見せどころかもしれません。
　僕は仕事で使っています。解くのに時間がかかる微積分やラプラス変換などです。またソルバーとして使うこともあります。回路の計算にはついてまわる様々な数学は紙と鉛筆で時間をかけて解いても褒めてもらえません。計算の解を得るのが仕事ではなく、その解から回路の善し悪しを検証するのが目的だからです。
　MaximaのGUIはwxMaximaを使っています。使う環境がUbuntu Linuxなので"アプリケーションの追加と削除"から簡単にインストールできるのが理由です。GUIにはまだ種類があるようです。使用する方が使いやすいGUIを選択するといいでしょう。
　Windows版もあるようです。本家のダウンロードページでSourceforge download pageに実行ファイルがあります。Windowsの環境でも使えそうなのでご興味あれば試しては如何でしょうか。

　Maximaを回路設計の支援として使う一例をご紹介します。前回のエントリーで感度関数についてを書きました。これをMaximaを使って計算してみます。

画像1.gif
　diff（式１,x）；は"式１"を"ｘ"で微分するの意味です。画面の例では\frac{A}{1+A\beta} をAで微分しています。xthru（）は通分するという意味で、"％"は前回計算した結果、ここでは先ほどの微分した計算式"（%o1）の行"を指しています。この微分で得た計算結果を通分して"（%o2）の行"に評価された結果が出てきました。


画像2.gif
　次の例はG=g(A,\beta)=\frac{A}{1+A\beta}とし、感度関数：S_A ^G=\frac{A}{G}\cdot\frac{dG}{dA}を解き、得た解：\frac{1}{1+A\beta}へA=10000、\beta=0.1を代入して感度関数の値：9.99ppmが得られた結果です。前のエントリーでは紙と鉛筆で時間をかけて解きましたが、Maximaを使うと あっという間に答えが求まります。


画像3.gif　次の例は先ほどの手順でAを100〜10000まで可変しながらグラフを出力したものです。Maximaはこのようなこともできます。ひとつの値だけ注視するのではなく変動させた場合のグラフを見れますので最終出力への影響が出るかがひとめで分かります。この機能は大変便利なので使わない手はないでしょう。


感度.png　Maximaのグラフ出力を他のグラフ作成ソフトで読み込ませ整形することもできます。今回用いたグラフソフトは同じくフリーのQtiPlotというソフトウェアです。報告書などに使用する場合便利だと思います。

　Maximaの数式入力は慣れだと思います。またお呪いのような関数の記述（今回は微分のdiffなど）は覚える必要はなく、情報量の多いWebサイト様で検索して使うのがよいでしょう。下記のサイト様（日本語）をご参照ください。


]]> http://www.analib.com/blog/2008/12/maxima.html http://www.analib.com/blog/2008/12/maxima.html QtiPlot linux maxima wxMaxima Maxima linux ubuntu wxMaxima 数式処理システム Tue, 09 Dec 2008 12:23:00 +0900